Calcule a distância entre as retas paralelas 2 x+3 y+1=0 e 2 x+3 y-1=0, que é, por definição, a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra reta.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas paralelas
r1:2x+3y+1=0 e r2:2x+3y-1=0
Esse valor é definido como a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra reta. Vamos usar a fórmula de distância de ponto a reta.

Passo 2

Escolhemos um ponto P em r1. Tomando x=0 em 2x+3y+1=0 temos
3y+1=0 Rightarrow y=-tfrac13
Logo, P=(0,-tfrac13) pertence a r1.

Passo 3

A fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aqui usamos A=2, B=3, C=-1 (coeficientes de r2) e (x0,y0)=(0,-tfrac13):
d = l|2cdot0 + 3cdot(-tfrac13) -1r|raiz2^2 + 3^2 = l|-1 -1r|raiz4+9 = 2raiz13

Passo 5

Concluímos que a distância entre r1 e r2 é
2raiz13

Resposta

2raiz13

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