Escreva o número complexo indicado na forma polar.
5-5 i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z=5-5i na forma polar. Para isso, precisamos calcular o módulo de z e o seu argumento (ângulo) e, em seguida, usar a expressão
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).

Passo 2

Calculamos o módulo r de z usando a definição r = \sqrt{x^2 + y^2}, em que x=5 e y=-5.
r = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}.

Passo 3

Determinamos o argumento \theta de z por
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}.
Como x>0 e y<0, o ponto (5,-5) está no quarto quadrante, e o valor -\pi/4 está correto como argumento principal.

Passo 4

Substituímos r e \theta na forma polar:
z = 5\sqrt{2}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Resposta

5\sqrt{2}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)

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