Escreva o número indicado em notação polar na forma a+i b.
z=8 \sqrt{2}\left(\cos \frac{11 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{11 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo em notação polar
z = 8\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{11\pi}{4} + i\,\sin\tfrac{11\pi}{4}\bigr)
e pede para escrevê-lo na forma a + i b. Vamos usar a periodicidade trigonométrica para simplificar o ângulo e depois calcular as funções trigonométricas.

Passo 2

Reduzimos o ângulo \tfrac{11\pi}{4} ao intervalo de 0 a 2\pi usando que \cos e \sin são 2\pi-periódicos:
\tfrac{11\pi}{4} = 2\pi + \tfrac{3\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \cos\tfrac{11\pi}{4} = \cos\tfrac{3\pi}{4}, \quad \sin\tfrac{11\pi}{4} = \sin\tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Recorremos aos valores notáveis no segundo quadrante:
\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}
Substituindo em z, fica
z = 8\sqrt{2}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 4

Distribuímos o fator 8\sqrt{2}:
8\sqrt{2}\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = 8\cdot(-1) = -8, \quad 8\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = 8\cdot 1 = 8.
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z = -8 + 8i.

Resposta

-8 + 8i

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