[14] Escreva o polinômio de Taylor de ordem dois da função de duas variáveis f(x, y)=e^x /(y+1) no ponto p=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem dois da função
f(x,y)=e^xy+1
no ponto p=(0,1).
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais até segunda ordem e aplicação da fórmula de Taylor em duas variáveis:
T2(x,y)=f(p) +fx(p)(x-0)+fy(p)(y-1) +tfrac12l[fxx(p)(x-0)^2+2fxy(p)(x-0)(y-1)+fyy(p)(y-1)^2r]

Passo 2

Calculamos f e as primeiras derivadas em p:
f(0,1)=e^01+1=12,
fx(x,y)=e^xy+1 Longrightarrow fx(0,1)=12,
fy(x,y)=-e^x(y+1)^2 Longrightarrow fy(0,1)=-14

Passo 3

Agora as segundas derivadas em p:
fxx(x,y)=e^xy+1 Longrightarrow fxx(0,1)=12,
fxy(x,y)=-e^x(y+1)^2 Longrightarrow fxy(0,1)=-14,
fyy(x,y)=2,e^x(y+1)^3 Longrightarrow fyy(0,1)=14

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor de segunda ordem:
T2(x,y) =12 +12,x -14,(y-1) +tfrac12l[tfrac12,x^2 +2l(-tfrac14r)x(y-1) +tfrac14,(y-1)^2r]

Passo 5

Simplificando o termo quadrático:
tfrac12l[tfrac12x^2-tfrac12x(y-1)+tfrac14(y-1)^2r] =14x^2-14x(y-1)+18(y-1)^2
Logo
T2(x,y) =12+12x-14(y-1) +14x^2-14x(y-1)+18(y-1)^2

Resposta

T2(x,y) =12+12x-14(y-1) +14x^2-14x(y-1)+18(y-1)^2

Exercícios de Livros Relacionados