[03] (a) Mostre que a função f(x, y, z)=cos (ln (x^2+y^2+2 x y+4))+5 z não possui extremos locais em R^3.
(b) Mostre que a função f(x, y, z)=cos (ln (x^2+y^2+2 x y+4))+5 z não possui extremos globais em R^3.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=cos!l(ln(x^2+y^2+2xy+4)r)+5z
e pede:
(a) mostrar que não há extremos locais em R^3;
(b) mostrar que não há extremos globais em R^3.
Vamos usar derivadas parciais para localizar pontos críticos e, depois, analisar o comportamento assintótico para extremos globais.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação a z. Como
partial fpartial z(x,y,z) =partialpartial zl[cos(ln(dots))+5zr] =5,
vemos que tfracpartial fpartial zequiv5neq0 em toda parte. Logo o gradiente nabla f nunca se anula e não existe ponto crítico em R^3.

Passo 3

Como não há ponto em que nabla f=0, não há candidatos a extremos locais. Portanto f não possui extremos locais.

Passo 4

Para os extremos globais, note que
x^2+y^2+2xy+4=(x+y)^2+4>=4,
logo ln(x^2+y^2+2xy+4)in[ln4,infty) e
cos!l(ln(x^2+y^2+2xy+4)r)in[-1,1]
Assim, para cada (x,y,z),
f(x,y,z)in[5z-1,;5z+1]
Fazendo zto+infty obtemos fto+infty (não há máximo) e, fazendo zto-infty, obtemos fto-infty (não há mínimo).

Resposta

(a) f não possui extremos locais pois tfracpartial fpartial z=5neq0 impede pontos críticos.
(b) f não possui extremos globais pois sup f=+infty e inf f=-infty.

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