[03] (a) Mostre que a função
não possui extremos locais em
.
(b) Mostre que a função
não possui extremos globais em
.
(b) Mostre que a função
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) mostrar que não há extremos locais em ;
(b) mostrar que não há extremos globais em .
Vamos usar derivadas parciais para localizar pontos críticos e, depois, analisar o comportamento assintótico para extremos globais.
(a) mostrar que não há extremos locais em
(b) mostrar que não há extremos globais em
Vamos usar derivadas parciais para localizar pontos críticos e, depois, analisar o comportamento assintótico para extremos globais.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial em relação a
. Como
vemos que
em toda parte. Logo o gradiente
nunca se anula e não existe ponto crítico em
.
Passo 3
Como não há ponto em que
, não há candidatos a extremos locais. Portanto
não possui extremos locais.
Passo 4
Para os extremos globais, note que
logo
e
Assim, para cada
,
Fazendo
obtemos
(não há máximo) e, fazendo
, obtemos
(não há mínimo).
Resposta
(a)
não possui extremos locais pois
impede pontos críticos.
(b) não possui extremos globais pois
e
.
(b)