Escrever a equação da tangente e da normal à curva: x^{3}+ +y^{2}+2 x-6=0 no ponto com ordenada y=3.

Passo 1

O enunciado pede as equações da tangente e da normal à curva
x^3 + y^2 + 2x - 6 = 0
no ponto de ordenada y = 3. Vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente e, em seguida, obter a reta normal.

Passo 2

Para encontrar o ponto, substituímos y=3 na equação da curva:
x^3 + 3^2 + 2x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^3 + 2x + 3 = 0.
Testando x=-1, temos -1 + (-2) + 3 = 0, logo x=-1 é raiz e as demais são complexas. O único ponto real é (-1,3).

Passo 3

Derivamos implicitamente
x^3 + y^2 + 2x - 6 = 0
em relação a x:
3x^2 + 2y\,y' + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{3x^2 + 2}{2y}.
No ponto (-1,3):
y'(-1,3) = -\frac{3\cdot(-1)^2 + 2}{2\cdot3} = -\frac{5}{6}.

Passo 4

A equação da reta tangente em (x_0,y_0)=(-1,3) com coeficiente angular m_t = -\tfrac{5}{6} é
y - 3 = -\frac{5}{6}(x + 1).

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular m_n igual ao negativo do inverso de m_t:
m_n = \frac{6}{5}.
Logo, a equação da normal é
y - 3 = \frac{6}{5}(x + 1).

Resposta

A equação da tangente é
y - 3 = -\frac{5}{6}(x + 1),
e a equação da normal é
y - 3 = \frac{6}{5}(x + 1).

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