Sob que ângulo, a curva y=e^{0,5 x} corta a reta x=2 ?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a curva y=e^{0,5x} e a reta vertical x=2. Para isso precisamos:
– O declive (inclinação) da reta tangente à curva em x=2, que vem da derivada y'.
– Converter esse declive em ângulo em relação ao eixo horizontal e, em seguida, obter o ângulo em relação à vertical.

Passo 2

Calculamos a derivada de y em função de x. Como
y = e^{0,5x},
usa-se a regra da cadeia:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{0,5x}\bigr) = 0,5\,e^{0,5x}.

Passo 3

Avalia-se a derivada em x=2:
m = y'(2) = 0,5\,e^{0{,}5\cdot 2} = 0,5\,e^{1} = \tfrac{1}{2}e.
Logo, o declive da tangente é m=\tfrac{1}{2}e.

Passo 4

O ângulo \varphi entre a tangente e o eixo horizontal satisfaz
\varphi = \arctan(m) = \arctan\bigl(\tfrac{1}{2}e\bigr).

Passo 5

Como a reta x=2 é vertical, seu ângulo com o horizontal é \tfrac{\pi}{2}. O ângulo \alpha entre tangente e vertical é
\alpha = \frac{\pi}{2} - \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\bigl(\tfrac12 e\bigr).
Usando a identidade \tfrac{\pi}{2}-\arctan(a)=\arctan(\tfrac1a), vem
\alpha = \arctan\!\Bigl(\tfrac{1}{\tfrac12 e}\Bigr) = \arctan\bigl(\tfrac{2}{e}\bigr).

Resposta

\alpha = \arctan\!\Bigl(\tfrac{2}{e}\Bigr) \approx 0{,}637\\ \text{rad}\approx 36{,}5^\circ.

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