Compor as equações da tangente e da normal às curvas nos pontos dados:
y=\operatorname{arccos} 3 x no ponto de interseção com o eixo O Y;

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = \operatorname{arccos}(3x)
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto em que a curva corta o eixo OY. Para isso, vamos (1) determinar o ponto de interseção, (2) calcular a derivada y' para achar o coeficiente angular da tangente e (3) usar o coeficiente angular da normal, que é o negativo do recíproco do da tangente.

Passo 2

O eixo OY corresponde a x=0. Substituindo em y=\operatorname{arccos}(3x), obtemos
y = \operatorname{arccos}(0) = \frac{\pi}{2}.
Logo, o ponto é
P\bigl(0,\;\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Derivando y=\operatorname{arccos}(3x) em relação a x, usamos a regra
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arccos} u\bigr) = -\frac1{\sqrt{1-u^2}}
com u=3x e u'=3. Assim,
y' = -\frac{3}{\sqrt{\,1-(3x)^2\,}}.
Em x=0, fica
y'(0) = -\frac{3}{\sqrt{1-0}} = -3.

Passo 4

A reta tangente em P tem coeficiente angular m_{\mathrm{t}} = -3 e passa por \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Logo,
y - \frac{\pi}{2} = -3\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = -3x + \frac{\pi}{2}.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é
m_{\mathrm{n}} = -\frac{1}{m_{\mathrm{t}}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}.
Passando por \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), temos
y - \frac{\pi}{2} = \frac{1}{3}\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{3}x + \frac{\pi}{2}.

Resposta

Equação da tangente:
y = -3x + \frac{\pi}{2}.
Equação da normal:
y = \frac{1}{3}x + \frac{\pi}{2}.

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