Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+\frac{5}{16}+\frac{6}{25}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do enésimo termo da série
\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+\frac{5}{16}+\frac{6}{25}+\cdots
Estamos trabalhando com sequências e precisamos identificar o padrão do numerador e do denominador para escrever a_n.

Passo 2

Analisando o numerador dos termos:
3, 4, 5, 6, …
Perceba que isso é uma progressão aritmética com primeiro termo 3 e razão 1. Se associarmos ao índice n começando em 1, temos
\text{numerador} = 3 + (n-1)\cdot1 = n+2.

Passo 3

Analisando o denominador dos termos:
4, 9, 16, 25, …
São quadrados perfeitos de 2, 3, 4, 5, … . Se n=1 corresponde a 2^2, então o termo geral do denominador é
( n + 1 )^2.

Passo 4

Juntando numerador e denominador, o enésimo termo a_n é
a_n = \frac{n+2}{(n+1)^2}.

Resposta

a_n = \frac{n+2}{(n+1)^2}.

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