Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
\frac{2}{5}+\frac{4}{8}+\frac{6}{11}+\frac{8}{14}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do enésimo termo T_n da série
\frac{2}{5} + \frac{4}{8} + \frac{6}{11} + \frac{8}{14} + \ldots
Aqui a ideia é ver que o numerador forma uma progressão aritmética (PA) e o denominador também forma outra PA, e então usar a expressão do termo geral de cada PA.

Passo 2

Olha o numerador: 2,4,6,8,\dots. É uma PA com primeiro termo a_1=2 e razão r=2. O termo geral dessa PA é
a_n = 2 + (n-1)\cdot 2 = 2n.

Passo 3

Agora o denominador: 5,8,11,14,\dots. É uma PA com primeiro termo b_1=5 e razão q=3. O termo geral dessa PA é
b_n = 5 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 2.

Passo 4

Juntando numerador e denominador, o enésimo termo da série é
T_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{2n}{3n+2}.

Resposta

T_n = \frac{2n}{3n+2}.

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