Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
1-1+1-1+1-1+\ldots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do enésimo termo da série
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots
ou seja, queremos uma expressão que dê 1 quando n é ímpar e -1 quando n é par.

Passo 2

Observamos que todos os termos têm valor absoluto igual a 1, variando apenas o sinal. Essa variação segue um padrão de alternância: sinal positivo em n=1,3,5,\dots e sinal negativo em n=2,4,6,\dots.

Passo 3

Uma forma padrão de gerar esse tipo de alternância é usar a potência de -1. Note que
(-1)^{n-1} = \begin{cases} (-1)^{\text{even}} = +1, & n \text{ ímpar},\\\ (-1)^{\text{odd}} = -1, & n \text{ par}. \end{cases}í

Passo 4

Verificando nos primeiros termos:
n=1:\;(-1)^{0}=+1,\quad n=2:\;(-1)^{1}=-1,\quad n=3:\;(-1)^{2}=+1,\;\dots
coincide exatamente com a série dada.

Resposta

a_n = (-1)^{n-1}.

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