Uma esfera de raio é tangente às três faces de um triedro, cada uma das quais mede . Ache a distância do vértice do triedro ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado fala de uma esfera de raio que é tangente às três faces de um triedro cujos ângulos diedros entre cada par de faces valem . Queremos achar a distância do vértice do triedro até o centro dessa esfera. O conteúdo principal aqui é a geometria vetorial de planos e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Para descrever cada face do triedro, associamos a ela um vetor normal unitário , ou . Como os diedros entre quaisquer duas faces são de , temos
e .
Passo 3
O centro da esfera, digamos , deve estar no lugar geométrico dos pontos equidistantes das três faces. Isso significa que satisfaz
Como as normais podem ser escolhidas de modo que Ocdotni>0, podemos escrever
Ocdotni = R, i=1,2,3
Uma forma padrão de achar um vetor que tenha produto escalar igual com três vetores dados é tomar
A distância do vértice do triedro ao centro da esfera é
raiz62,R
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 997