Uma esfera de raio R é tangente às três faces de um triedro, cada uma das quais mede 60^circ. Ache a distância do vértice do triedro ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera de raio R que é tangente às três faces de um triedro cujos ângulos diedros entre cada par de faces valem 60^circ. Queremos achar a distância do vértice do triedro até o centro dessa esfera. O conteúdo principal aqui é a geometria vetorial de planos e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para descrever cada face do triedro, associamos a ela um vetor normal unitário n1, n2 ou n3. Como os diedros entre quaisquer duas faces são de 60^circ, temos
ni cdot nj = cos(60^circ) = tfrac12 para ineq j,
e |ni|=1.

Passo 3

O centro da esfera, digamos O, deve estar no lugar geométrico dos pontos equidistantes das três faces. Isso significa que O satisfaz
l|Ocdotn1r| =l|Ocdotn2r| =l|Ocdotn3r|=R
Como as normais podem ser escolhidas de modo que Ocdotni>0, podemos escrever
Ocdotni = R, i=1,2,3
Uma forma padrão de achar um vetor que tenha produto escalar igual com três vetores dados é tomar
O = k,(n1+n2+n3)
para algum escalar k.

Passo 4

Vamos impor Ocdotn1=R. Tem-se
Ocdotn1 = kl(n1+n2+n3r)cdotn1 = kl(1 + tfrac12 + tfrac12r) =2k
Logo 2k=R, ou seja
k = R2
Portanto
O = R2,(n1+n2+n3)

Passo 5

Agora calculamos a distância do vértice (origem) ao centro O, que é simplesmente |O|. Primeiro,
|n1+n2+n3|^2 =sumi=1^3|ni|^2 +2sum1<= i<j<=3nicdotnj =3 + 2cdot3cdottfrac12 =6
Então
|n1+n2+n3| = raiz6
e
|O| = R2,raiz6 = raiz62,R

Resposta

A distância do vértice do triedro ao centro da esfera é
raiz62,R

Exercícios de Livros Relacionados