Em um cone inscrevemos uma semiesfera de tal modo que o círculo maior dessa semiesfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como 185.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cone reto de vértice V, base de raio R e altura H, no qual está inscrita uma semiesfera de raio r cuja “boca” (círculo de raio r) repousa no plano da base do cone. Pedem o ângulo de vértice do cone, sabendo que a razão entre a área lateral do cone e a área da esfera completa (de raio r) é tfrac185. Para resolver, vamos usar:
  1. A área lateral do cone, pi R ell, onde ell=raizH^2+R^2 é a geratriz.
  2. A área da esfera completa, 4pi r^2.
  3. A condição de tangência da semiesfera à geratriz do cone: a distância do centro da esfera ao plano geratriz é r.

Passo 2

Escrevemos a razão dada pela área lateral do cone sobre a área da esfera:
pi R,ell4pi r^2=185
Cancelando pi e isolando R,ell obtemos
R,ell = 725,r^2

Passo 3

Agora a condição de tangência: no corte meridional, a geratriz do cone é a reta que passa por (0,H) e (R,0). Seu coeficiente angular é -tfracHR e a equação na forma Ax+By+C=0 é
H,x + R,y - R,H = 0
O centro da esfera está em (0,r), e a distância deste ponto à reta deve ser r. Portanto
l|Hcdot0 + Rcdot r - R,Hr|raizH^2+R^2 = r Longrightarrow R(H-r)=rraizH^2+R^2
Elevando ao quadrado:
R^2,(H-r)^2 = r^2,(H^2+R^2)

Passo 4

Para simplificar, introduzimos as variáveis adimensionais
u = Rr, k = Hr
A condição de tangência vira
u^2,(k-1)^2 = k^2 + u^2 Longrightarrow k=2u^2u^2-1
Já a área lateral dá
R,ell = r^2,u,raizk^2+u^2 = 725r^2 Longrightarrow uraizk^2+u^2=725

Passo 5

Substituindo k=tfrac2u^2u^2-1 em uraizk^2+u^2=tfrac725 obtemos, após simplificar, a equação em v=u^2:
5v^2 - 67v + 72 = 0
Suas raízes são
v = 67pmraiz304910,
isto é
u^2 approx 1,1783 ou u^2 approx 12,2217

Passo 6

Cada solução dá um cociente u=R/r. O ângulo de meio-vértice alpha do cone satisfaz tanalpha = tfracRH = tfracuk. Usando k=2u^2/(u^2-1) vem
tanalpha = u^2-12u
Para u^2approx1,1783 obtém-se alphaapprox4,70^circ e o ângulo de vértice 2alphaapprox9,4^circ.
Para u^2approx12,2217 vem alphaapprox57,94^circ e o ângulo de vértice
2alphaapprox115,9^circ

Passo 7

Geometricamente, o cone deve ter abertura suficiente para conter a semiesfera sem “engolir” seu topo; portanto a solução fisicamente plausível é
2alphaapprox115,9^circ

Resposta

O ângulo do vértice do cone é aproximadamente 115,9^circ.

Exercícios de Livros Relacionados