Em um cone inscrevemos uma semiesfera de tal modo que o círculo maior dessa semiesfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um cone reto de vértice , base de raio e altura , no qual está inscrita uma semiesfera de raio cuja “boca” (círculo de raio ) repousa no plano da base do cone. Pedem o ângulo de vértice do cone, sabendo que a razão entre a área lateral do cone e a área da esfera completa (de raio ) é . Para resolver, vamos usar:
A área lateral do cone, , onde é a geratriz.
A área da esfera completa, .
A condição de tangência da semiesfera à geratriz do cone: a distância do centro da esfera ao plano geratriz é .
Passo 2
Escrevemos a razão dada pela área lateral do cone sobre a área da esfera:
Cancelando e isolando obtemos
Passo 3
Agora a condição de tangência: no corte meridional, a geratriz do cone é a reta que passa por e . Seu coeficiente angular é e a equação na forma é
O centro da esfera está em , e a distância deste ponto à reta deve ser . Portanto
Elevando ao quadrado:
R^2,(H-r)^2 = r^2,(H^2+R^2)
Passo 4
Para simplificar, introduzimos as variáveis adimensionais
Substituindo k=tfrac2u^2u^2-1 em uraizk^2+u^2=tfrac725 obtemos, após simplificar, a equação em v=u^2:
5v^2 - 67v + 72 = 0
Suas raízes são
v = 67pmraiz304910,
isto é
u^2 approx 1,1783 ou u^2 approx 12,2217
Passo 6
Cada solução dá um cociente u=R/r. O ângulo de meio-vértice alpha do cone satisfaz tanalpha = tfracRH = tfracuk. Usando k=2u^2/(u^2-1) vem
tanalpha = u^2-12u
Para u^2approx1,1783 obtém-se alphaapprox4,70^circ e o ângulo de vértice 2alphaapprox9,4^circ.
Para u^2approx12,2217 vem alphaapprox57,94^circ e o ângulo de vértice
2alphaapprox115,9^circ
Passo 7
Geometricamente, o cone deve ter abertura suficiente para conter a semiesfera sem “engolir” seu topo; portanto a solução fisicamente plausível é
2alphaapprox115,9^circ
Resposta
O ângulo do vértice do cone é aproximadamente 115,9^circ.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 994