(EsPCEx-SP) O conjunto solução da inequação (25)^x+3 <=(254)^2 x+1<(25)^8 x+1
a) tem módulo de diferença entre os extremos igual a 3,5 .
b) inclui o zero.
c) inclui apenas um número inteiro negativo.
d) é vazio.
e) inclui três números inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
(25)^x+3 <= (254)^2x+1 < (25)^8x+1
e, a partir da solução, verificar qual das alternativas (a)–(e) é correta. O conteúdo envolvido é inequação exponencial com base em (0,1) e em (1,infty). Vamos usar mudança de base e o fato de que a função b^t é decrescente se 0<b<1.

Passo 2

Primeiro escrevemos (tfrac254)^2x+1 na base tfrac25. Note que
254 = l(52r)^2,
logo
l(tfrac254r)^2x+1 = l((tfrac52)^2r)^2x+1 = (tfrac52)^4x+2 = (tfrac25)^-(4x+2)
Assim a inequação fica
l(tfrac25r)^x+3 <= l(tfrac25r)^-(4x+2) < l(tfrac25r)^8x+1

Passo 3

Como a base tfrac25 está em (0,1), a função tmapsto (tfrac25)^t é estritamente decrescente. Logo, ao comparar
(tfrac25)^A <= (tfrac25)^B Longrightarrow A >= B,
e
(tfrac25)^B < (tfrac25)^C Longrightarrow B > C
Aplicando isso aos dois “pedaços” da inequação:
  1. Da parte esquerda temos
x+3 >= -(4x+2)
  1. Da parte direita temos
-(4x+2) > 8x+1

Passo 4

Agora resolvemos cada desigualdade:
  1. x+3 >= -4x-2
    x + 4x >= -2 - 3 Longrightarrow 5x >= -5 Longrightarrow x >= -1
  2. -4x - 2 > 8x + 1
    -4x - 8x > 1 + 2 Longrightarrow -12x > 3 Longrightarrow x < -tfrac14
Combinando, a solução é
-1 <= x < -tfrac14,
isto é o intervalo l[-1,-tfrac14r).

Passo 5

Agora conferimos as alternativas:
a) O comprimento do intervalo é
-tfrac14 - (-1) = tfrac34neq 3,5
Falso.
b) O zero não pertence a l[-1,-tfrac14r). Falso.
c) Os únicos inteiros em l[-1,-tfrac14r) são -1. Correto.
d) O conjunto não é vazio. Falso.
e) Há apenas um inteiro, não três. Falso.

Resposta

(c)

Exercícios de Livros Relacionados