(Mackenzie-SP) Se 3^x+1-23^x=1, então o valor de 2 x+1 é:

Passo 1

O enunciado dá uma equação exponencial de base 3, \r
3^x+1 - 23^x = 1, \r
e pede o valor de 2x+1. Para resolver, vamos usar a técnica de substituir 3^x por uma variável auxiliar e depois resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = 3^x, \r
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3^x+1 = 3cdot 3^x = 3t e 23^x = 2t \r
Substituindo na equação original, obtemos
3t - 2t = 1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por t para eliminar o denominador, chegando em
3t^2 - 2 = t Longrightarrow 3t^2 - t - 2 = 0 \r
Esta é uma equação quadrática em t. Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot 3 cdot (-2) = 1 + 24 = 25, \r
e as raízes são
t = 1 pm 56

Passo 4

As duas soluções são
t1 = 1+56 = 1 e t2 = 1-56 = -23 \r
Como t = 3^x é sempre positivo, descartamos t2. Então
3^x = t1 = 1 Longrightarrow x = 0

Passo 5

Finalmente, calculamos
2x + 1 = 2cdot 0 + 1 = 1

Resposta

1

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