O que há de especial sobre as derivadas de funções vetoriais de módulo constante? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a propriedade especial da derivada de uma função vetorial \vec v(t) cujo módulo é constante. Para resolver isso, vamos usar a definição de módulo, o produto interno e a regra de derivação do produto escalar.

Passo 2

Se \|\vec v(t)\| é constante, então \|\vec v(t)\|^2 também é constante. Logo,
\frac{d}{dt}\bigl(\vec v(t)\cdot\vec v(t)\bigr)=0.
Pelo produto escalar e pela regra da derivada, temos
\frac{d}{dt}\bigl(\vec v\cdot\vec v\bigr) =2\,\vec v(t)\cdot\vec v'(t) =0.
Daí
\vec v(t)\cdot\vec v'(t)=0,
ou seja, \vec v'(t) é ortogonal a \vec v(t).

Passo 3

Vamos ilustrar com um exemplo simples:
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t).
Aqui \|\vec r(t)\| =\sqrt{\cos^2t+\sin^2t}=1, constante. A derivada é
\vec r'(t)=(-\sin t,\;\cos t).
O produto escalar é
\vec r(t)\cdot\vec r'(t) =\cos t\cdot(-\sin t)+\sin t\cdot\cos t =0,
confirmando que \vec r'(t) é perpendicular a \vec r(t).

Resposta

A derivada de uma função vetorial de módulo constante é sempre ortogonal ao próprio vetor.
Exemplo: para \vec r(t)=(\cos t,\sin t), tem-se \|\vec r(t)\|=1 e \vec r'(t)=(-\sin t,\cos t) com \vec r(t)\cdot\vec r'(t)=0.

Exercícios de Livros Relacionados