(ESPM-SP) Se um automóvel sofre desvalorização de 20 % ao ano, ele estará valendo a metade do seu valor atual em:
a) pouco mais de 3 anos.
b) exatamente 2 anos e meio.
c) pouco mais de 4 anos.
d) exatamente 5 anos.
e) menos de 2 anos.

Passo 1

O enunciado diz que um automóvel sofre desvalorização de 20% ao ano e pergunta em quantos anos ele valerá metade do valor atual. O conteúdo aqui é decaimento exponencial e vamos precisar usar a fórmula
V(t) = V0,(1 - 0,20)^t
e, em seguida, resolver uma equação exponencial com logaritmo.

Passo 2

Chamando de V0 o valor atual do carro e de V(t) o valor após t anos, a fórmula de desvalorização é
V(t) = V0,(0,80)^t
Para que o carro valha metade, queremos
V(t) = tfrac12V0 Longrightarrow (0,80)^t = 0,50

Passo 3

Para resolver (0,80)^t = 0,50, aplicamos logaritmo natural dos dois lados:
t = ln(0,50)ln(0,80)

Passo 4

Calculando numericamente,
ln(0,50)approx -0,6931, ln(0,80)approx -0,2231,
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t approx -0,6931-0,2231 approx 3,11
Isso significa pouco mais de 3 anos.

Resposta

a) pouco mais de 3 anos.

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