Estabeleça a seguinte fórmula para todo n >= 1 :
(2 n+1)^2=(4 Tn+1)^2-(4 Tn)^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n>=1, vale a identidade
(2n+1)^2 ;=;l(4Tn+1r)^2;-;l(4Tnr)^2,
onde Tn é o n-ésimo número triangular.

Passo 2

Lembrando que o n-ésimo número triangular é dado por
Tn ;=;n(n+1)2,
iremos usar esta expressão para simplificar o lado direito da identidade.

Passo 3

No lado direito temos uma diferença de quadrados. Usamos
a^2-b^2=(a-b),(a+b)
com a=4Tn+1 e b=4Tn. Assim,
l(4Tn+1r)^2-l(4Tnr)^2 =l[(4Tn+1)-(4Tn)r];l[(4Tn+1)+(4Tn)r]

Passo 4

Simplificando cada fator:
(4Tn+1)-(4Tn)=1,
(4Tn+1)+(4Tn)=8Tn+1
Logo,
l(4Tn+1r)^2-l(4Tnr)^2 =1cdot(8Tn+1)=8Tn+1
Substituindo Tn=tfracn(n+1)2, obtemos
8Tn+1 =8cdotn(n+1)2+1 =4n(n+1)+1 =4n^2+4n+1 =(2n+1)^2

Passo 5

Concluímos que
l(4Tn+1r)^2-l(4Tnr)^2 =(2n+1)^2,
o que demonstra a fórmula pedida.

Resposta

(2n+1)^2 ;=;l(4Tn+1r)^2;-;l(4Tnr)^2

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