Estabeleça a seguinte fórmula para todo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale a identidade
onde
é o
-ésimo número triangular.
Passo 2
Lembrando que o
-ésimo número triangular é dado por
iremos usar esta expressão para simplificar o lado direito da identidade.
Passo 3
No lado direito temos uma diferença de quadrados. Usamos
com
e
. Assim,
Passo 4
Simplificando cada fator:
Logo,
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Concluímos que
o que demonstra a fórmula pedida.