Estabeleça a seguinte regra: toda dízima periódica simples (“simples” quer dizer que o período começa logo após a vírgula) é igual a uma fração ordinária, cujo numerador é igual a um período e cujo denominador é constituído de tantos 9 quantos são os algarismos do período.

Passo 1

Vamos provar que, se x é uma dízima periódica simples com período de k algarismos, então
x = 0a1a2dots ak
pode ser escrito na forma de fração
Punderbrace99ldots9k vezes,
onde P é o número inteiro formado pelos dígitos a1a2dots ak.

Passo 2

Definimos
x = 0a1a2dots ak
Seja
P = a1a2dots ak
o número inteiro de k dígitos que forma o período, e note que x<1.

Passo 3

Multiplicamos x por 10^k para deslocar a vírgula k casas à direita. Como o período repete-se infinitamente, obtemos
10^kx = a1a2dots aka1a2dots ak = Pa1a2dots ak

Passo 4

Subtraímos a expressão original de 10^kx para anular a parte decimal periódica:
10^kx - x = Pa1dots ak - 0a1dots ak = P
Logo,
(10^k - 1),x = P

Passo 5

Isolando x, concluímos
x = P10^k - 1
Como 10^k-1 é igual a um número formado por k dígitos 9, isto é,
10^k-1 = underbrace99ldots9k vezes,
fica demonstrado que toda dízima periódica simples
0a1a2dots ak
é igual à fração ordinária cujo numerador é P e cujo denominador tem k noves.

Resposta

Toda dízima periódica simples 0a1a2dots ak satisfaz
0a1a2dots ak = a1a2dots akunderbrace99ldots9k dígitos, í
ou seja, numerador igual ao período e denominador com tantos 9 quantos são os algarismos do período.

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