Como estão relacionados os coeficientes angulares de retas mutuamente perpendiculares? E retas paralelas? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre os coeficientes angulares (inclinações) de duas retas no plano cartesiano quando elas são perpendiculares e quando são paralelas, além de exemplos concretos.

Passo 2

Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1. Em símbolos, se uma tem coeficiente angular m_1 e a outra m_2, então
m_1 \cdot m_2 = -1.
Isso vem do fato de que os vetores diretores (1,m_1) e (1,m_2) são ortogonais quando seu produto escalar vale zero: 1\cdot1 + m_1\cdot m_2=0.

Passo 3

Exemplo de retas perpendiculares:
Considere \ell_1\colon y = 2x + 1, com inclinação m_1=2. A reta perpendicular \ell_2 deve ter inclinação
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2}.
Uma equação possível é
\ell_2\colon y = -\tfrac12x + 3.

Passo 4

Duas retas são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação. Em termos de coeficientes angulares,
m_1 = m_2.

Passo 5

Exemplo de retas paralelas:
Considere
\ell_3\colon y = 3x + 1
e
\ell_4\colon y = 3x - 2.
Ambas têm inclinação m_3 = m_4 = 3 e, por isso, são paralelas (não se interceptam).

Resposta

Para retas perpendiculares: m_1 \cdot m_2 = -1.
Exemplo: \ell_1\colon y=2x+1 e \ell_2\colon y=-\tfrac12x+3.
Para retas paralelas: m_1 = m_2.
Exemplo: \ell_3\colon y=3x+1 e \ell_4\colon y=3x-2.

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