Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=-x^{2}-x+6

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
f(x) = -x^{2} - x + 6
e pede para determinarmos as raízes (zeros), o vértice, as interseções com os eixos, o eixo de simetria, o gráfico e o conjunto imagem. Vamos usar a fórmula do discriminante para as raízes, as fórmulas do vértice x_{v}=-\tfrac{b}{2a}, y_{v}=f(x_{v}), além de analisar o sinal de a para o conjunto imagem.

Passo 2

Para encontrar as raízes, calculamos o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot6 = 1 + 24 = 25.
Como \Delta>0, há duas raízes reais dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1)\pm5}{2\cdot(-1)} = \frac{1\pm5}{-2}.
Logo,
x_{1} = \frac{6}{-2} = -3, \quad x_{2} = \frac{-4}{-2} = 2.

Passo 3

As interseções com os eixos são:
Para o eixo x, usam-se as raízes, obtendo os pontos
(-3,0) e (2,0).
Para o eixo y, fazemos x=0:
f(0) = -0^{2} - 0 + 6 = 6,
logo o ponto é (0,6).

Passo 4

O vértice da parábola ocorre em
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot(-1)} = -\frac12.
O valor de y_{v} é
y_{v} = f\bigl(-\tfrac12\bigr) = -\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} - \bigl(-\tfrac12\bigr) + 6 = -\tfrac14 + \tfrac12 + 6 = \tfrac{1}{4} + 6 = \tfrac{25}{4}.
Portanto, o vértice é \bigl(-\tfrac12,\tfrac{25}{4}\bigr) e o eixo de simetria é a reta
x = -\tfrac12.

Passo 5

Como o coeficiente de x^{2} é a=-1<0, a parábola abre para baixo e atinge seu máximo em y_{v}=\tfrac{25}{4}. Assim, o conjunto imagem é
\mathrm{Im}\,f = \bigl(-\infty,\tfrac{25}{4}\bigr].

Passo 6

O gráfico é uma parábola voltada para baixo, com vértice em \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{25}{4}\bigr), interceptando o eixo x em (-3,0) e (2,0) e o eixo y em (0,6). Esboçando:
\begin{array}{c} \text{y} \\\ \bullet \text{ V}\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{25}{4}\right) \\\ \quad / \quad \backslash \\\ \quad/ \quad \quad \backslash \\\ \quad/ \quad \quad \quad \backslash \\\ \bullet \text{ (} -3,0 \text{)} \quad \quad \bullet \text{ (} 2,0 \text{)} \\\ \end{array}
\text{───────────────── x}

Resposta

raízes: -3 e 2
vértice: \bigl(-\tfrac12,\tfrac{25}{4}\bigr)
interseções: (-3,0), (2,0), (0,6)
eixo de simetria: x=-\tfrac12
conjunto imagem: \bigl(-\infty,\tfrac{25}{4}\bigr]

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