Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=-2 x^{2}-16 x

Passo 1

Temos a função quadrática
\;f(x)=-2x^2-16x.
O conteúdo é o estudo de parábolas: vamos precisar identificar os coeficientes, determinar raízes, vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos, esboçar o gráfico e encontrar o conjunto imagem.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2+bx+c:
a=-2, b=-16, c=0.
Como a<0, a parábola abre para baixo.

Passo 3

As raízes vêm de f(x)=0. Fatorando:
f(x)=-2x^2-16x=-2x\,(x+8).
Logo as raízes são
x=0\quad\text{e}\quad x=-8.

Passo 4

O eixo de simetria de uma parábola ax^2+bx+c é dado por
x=-\frac{b}{2a}.
Substituindo a=-2 e b=-16:
x=-\frac{-16}{2\cdot(-2)}=-4.

Passo 5

O vértice tem abscissa x_v=-4. A ordenada é
y_v=f(-4)=-2\cdot(-4)^2-16\cdot(-4)=-32+64=32.
Portanto o vértice é (-4,\,32).

Passo 6

Interceptos com os eixos:
– Interceptos em x: são as raízes, ou seja os pontos (0,0) e (-8,0).
– Intercepto em y: em x=0, f(0)=0, dando o ponto (0,0).

Passo 7

Esboço do gráfico:
Parábola com concavidade para baixo, vértice em (-4,32), cruzando o eixo x em (-8,0) e (0,0), e o eixo y em (0,0).

Passo 8

Conjunto imagem: como a parábola abre para baixo e atinge máximo y_v=32, temos
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,\,32].

Resposta

Raízes: x=0 e x=-8
Vértice: (-4,32)
Eixo de simetria: x=-4
Interceptos: (0,0) e (-8,0) no eixo x; (0,0) no eixo y
Conjunto imagem: (-\infty,32]

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