Estude o sinal das seguintes funções:
f(x)=x^2-6 x+5x-3

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função racional
f(x) = x^2 - 6x + 5x - 3
O conteúdo é análise de sinal de função racional, que requer fatorar numerador e identificar zeros e ponto de descontinuidade.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador e determinar o domínio.
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)
O denominador é x - 3, que se anula em x = 3. Portanto o domínio é
R setminus 3

Passo 3

Identificamos os pontos críticos para o estudo de sinal:
– Zeros do numerador em x = 1 e x = 5.
– Descontinuidade (polo) em x = 3.
Esses valores particionam a reta em quatro intervalos: (-infty,1), (1,3), (3,5) e (5,infty).

Passo 4

Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
Para x<1:
(x-1)<0, (x-5)<0, (x-3)<0 Rightarrow numerador >0, denominador <0 Rightarrow f(x)<0.
Para 1<x<3:
(x-1)>0, (x-5)<0, (x-3)<0 Rightarrow numerador <0, denominador <0 Rightarrow f(x)>0.
Para 3<x<5:
(x-1)>0, (x-5)<0, (x-3)>0 Rightarrow numerador <0, denominador >0 Rightarrow f(x)<0.
Para x>5:
(x-1)>0, (x-5)>0, (x-3)>0 Rightarrow numerador >0, denominador >0 Rightarrow f(x)>0.

Passo 5

Em x=1 e em x=5 a função se anula. Em x=3 há descontinuidade (assimptota vertical) e não há valor de f. Portanto o sinal de f é negativo em (-infty,1) e em (3,5), e positivo em (1,3) e em (5,infty).

Resposta

f(x)<0 para xin(-infty,1)cup(3,5).
f(x)>0 para xin(1,3)cup(5,infty).
f(x)=0 em x=1 e x=5.
f não está definida em x=3.

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