Para quais valores de a o sistema é determinado, impossível ou indeterminado?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em (x,y,z) dependendo do parâmetro real a:
x + y - a,z = 0, a,x + y - z = 2 - tfraca2, x + a,y - z = -a
O conteúdo aqui é estudar quando o sistema tem solução única (determinado), nenhuma solução (impossível) ou infinitas soluções (indeterminado). Para isso, vamos escrever a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e, nos casos de determinante zero, verificar a consistência do sistema.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & -a a & 1 & -1 1 & a & -1
Calculamos
det(A) = -a^3 + 3a - 2 = -(a-1)^2,(a+2)
Logo det(A)=0 se, e somente se, a=1 ou a=-2.
Passo 3
Se det(A) neq 0, ou seja para
a neq 1,,-2,
a matriz A é invertível e o sistema tem solução única. Portanto, o sistema é determinado sempre que a neq 1 e a neq -2.
Passo 4
Para a=1 temos as três equações
x + y - z = 0, x + y - z = tfrac32, x + y - z = -1,
que são claramente contraditórias (mesmo LHS, RHS distintos). Assim, o sistema não admite solução e é impossível em a=1.
Passo 5
Para
Resolvendo as duas primeiras equações obtém-se , o que é contraditório. Portanto, também para o sistema é impossível.
Resposta
O sistema é determinado para
a neq 1,,-2,
é impossível para
a = 1e a = -2,
e não há valores de a em que ele seja indeterminado.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 400