Discuta, segundo os valores do parâmetro a, as características das seguintes matrizes:
b) [cccc1 & 2 & 4 & 8 1 & 3 & 9 & 27 1 & a & a^2 & a^3]

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função de a, as características (posto e dependências lineares) da matriz
A = 1 & 2 & 4 & 8 1 & 3 & 9 & 27 1 & a & a^2 & a^3
O conteúdo aqui é posto de matriz e determinantes de submatrizes (Vandermonde). Vamos calcular determinantes de 3times 3 para ver quando o posto é máximo.

Passo 2

Para saber se , basta encontrar uma submatriz quadrada de posto total. Uma escolha natural é pegar as três primeiras colunas, pois elas formam
que é exatamente uma matriz de Vandermonde nos pontos .

Passo 3

O determinante de é dado pela fórmula de Vandermonde:
Logo, se , isto é, e , temos , pois já encontramos um de posto completo.

Passo 4

Se ou , então e não há submatriz de posto total. Em particular:
  • Para , a terceira linha de fica idêntica à primeira.
  • Para , a terceira linha fica idêntica à segunda.
    Em ambos os casos as três linhas são linearmente dependentes e .

Passo 5

Como é , vale a dimensão nula
Logo:
  • Se : e .
  • Se ou : e .

Resposta

Para : (posto máximo) e .
Para ou : e .

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