Exercício 11-8 Decomponha 13824 em fatores primos, e extraia a raiz cúbica desse número.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o número 13824 em fatores primos e, em seguida, extrair a raiz cúbica desse número. Para isso, usaremos o Teorema Fundamental da Aritmética (que garante a unicidade da decomposição em fatores primos) e a propriedade de potências para raízes, segundo a qual
raiz[3]a^m = a^m/3

Passo 2

Começamos dividindo 13824 por 2 enquanto ele for par. As divisões sucessivas dão:
13824 div 2 = 6912, 6912 div 2 = 3456, 3456 div 2 = 1728, 1728 div 2 = 864,
864 div 2 = 432, 432 div 2 = 216, 216 div 2 = 108, 108 div 2 = 54, 54 div 2 = 27
Contamos 9 divisões por 2, logo
13824 = 2^9 times 27

Passo 3

Agora fatoramos 27. Como 27 = 3^3, substituímos na expressão anterior:
13824 = 2^9 times 3^3

Passo 4

Para extrair a raiz cúbica, aplicamos a propriedade de expoentes:
raiz[3]13824 = raiz[3]2^9 times 3^3 = 2^9/3 times 3^3/3 = 2^3 times 3^1 = 8 times 3 = 24

Resposta

A decomposição em fatores primos é
13824 = 2^9 times 3^3,
e a raiz cúbica de 13824 é 24.

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