Nos exercícios de 27 a 32,encontre as outras medidas dos ângulos que faltam(sabemos calcular seno,cos- seno e tangente).
31. \operatorname{tg} \theta=\frac{5}{9}

Passo 1

O enunciado dá \tan\theta=\frac{5}{9} e pede para encontrar \sin\theta e \cos\theta. Como não há indicação de quadrante, vamos assumir que \theta é um ângulo agudo (ou seja, 0<\theta<90^\circ), de modo que seno e cosseno são positivos.

Passo 2

Em um triângulo retângulo, por definição,
\tan\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Logo, podemos tomar cateto oposto =5 e cateto adjacente =9.

Passo 3

Para achar a hipotenusa usamos o Teorema de Pitágoras:
\text{hipotenusa} = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}.

Passo 4

Agora calculamos
\sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{5}{\sqrt{106}}
e
\cos\theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{9}{\sqrt{106}}.

Resposta

\sin\theta = \dfrac{5}{\sqrt{106}},\quad \cos\theta = \dfrac{9}{\sqrt{106}}.

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