Nos Exercícios 11 a 16, calcular os momentos de inércia Ix e Iy de uma placa delgada S no plano XOY, limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada exercício f(x, y) representa a densidade num ponto arbitrário (x, y) de S.
xa+yb=1, xc+yb=1, y=0, 0<c<a, b>0 ; f(x, y)=1.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia Ix e Iy de uma placa plana S de densidade constante f(x,y)=1, limitada pelas retas
xa+yb=1, xc+yb=1, y=0,
com 0<c<a e b>0. Para resolver, usaremos as fórmulas
Ix=integral duplaSy^2,dA, Iy=integral duplaSx^2,dA,
e expressaremos a dupla integral em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região S. Das equações obtemos
x=cl(1-ybr) e x=al(1-ybr),
que se interceptam em (0,b), e ambas cortam o eixo x em x=c e x=a. Logo
S=l(x,y)mid 0<= y<= b,;cl(1-tfracybr)<= x<= al(1-tfracybr)r
Como f(x,y)=1, as integrais tornam-se
Ix=integral0^b!integralc(1-yb)^a(1-yb)y^2,dx,dy, Iy=integral0^b!integralc(1-yb)^a(1-yb)x^2,dx,dy

Passo 3

Cálculo de Ix:
Ix =integral0^by^2l[al(1-tfracybr)-cl(1-tfracybr)r]dy =(a-c)integral0^by^2l(1-tfracybr)dy
Como
integral0^by^2dy=b^33, integral0^by^3dy=b^44,
temos
Ix =(a-c)l(b^33-b^34r) =(a-c)b^312

Passo 4

Cálculo de Iy:
Iy =integral0^ba^3-c^33l(1-tfracybr)^3dy =a^3-c^33integral0^bl(1-tfracybr)^3dy
Fazendo u=1-tfracyb em integral0^b(1-tfracyb)^3dy obtém-se
integral0^bl(1-tfracybr)^3dy =bintegral0^1u^3du =b4
Logo
Iy =a^3-c^33cdotb4 =(a^3-c^3),b12

Resposta

Ix = (a - c),b^312
Iy = (a^3 - c^3),b12

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