Para os Exercícios 27-34, determine todos os números x que satisfazem a equação dada.
\frac{log _{9}(13 x)}{log _{9}(4 x)}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação logarítmica
\frac{\log_{9}(13x)}{\log_{9}(4x)} = 2
Isso é um exercício de equações envolvendo logaritmos e mudança de base. Como estamos lidando com \log_{9}(13x) e \log_{9}(4x), vamos precisar lembrar que o logaritmo só existe para argumentos positivos, isto é,
13x>0\quad\text{e}\quad4x>0\;\Longrightarrow\;x>0,
e também que o denominador não pode ser zero:
\log_{9}(4x)\neq0\;\Longrightarrow\;4x\neq1\;\Longrightarrow\;x\neq\frac14.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base para logaritmo natural, usando
\log_{9}(13x) = \frac{\ln(13x)}{\ln(9)}, \quad \log_{9}(4x) = \frac{\ln(4x)}{\ln(9)}.
Substituindo na equação original, os \ln(9) se cancelam e obtemos
\frac{\ln(13x)}{\ln(4x)} = 2.

Passo 3

A partir de
\ln(13x) = 2\,\ln(4x)
podemos reescrever o lado direito como logaritmo de potência:
\ln(13x) = \ln\bigl((4x)^2\bigr) = \ln(16\,x^2).
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\ln\bigl(\tfrac{13x}{16x^2}\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{13x}{16x^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{13}{16x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{13}{16}.
Verificamos que x=\tfrac{13}{16}>0 e x\neq\tfrac14, então satisfaz todas as restrições.

Resposta

x = \frac{13}{16}.

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