Nos exercícios de 13 a 22, encontre uma fórmula para f^{-1}(x). Determine o domínio de f^{-1}, incluindo todas as restrições herdadas de f.
$f(x)=2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para achar a função inversa de
f(x)=2x+5
e determinar o domínio de f^{-1}, levando em conta quaisquer restrições que venham de f. O conteúdo envolve noções de funções bijetoras e de como resolver uma equação linear para isolar a variável.

Passo 2

Para encontrar f^{-1}, começamos escrevendo
y = 2x + 5
e em seguida resolvemos para x em termos de y:
y - 5 = 2x \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{y - 5}{2}.
Trocando de volta o papel de x e y, obtemos
f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{2}.

Passo 3

A função f(x)=2x+5 é linear com coeficiente angular 2\neq0, logo é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}.
Portanto, o domínio de f é
(-\infty,\infty)
e a sua imagem (o conjunto de valores que f atinge) também é
(-\infty,\infty).
Como o domínio de f^{-1} coincide com a imagem de f, temos
\mathrm{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=(-\infty,\infty).

Resposta

A fórmula da inversa é
f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2},
com domínio
(-\infty,\infty).

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