Nos exercícios de 13 a 22, encontre uma fórmula para f^{-1}(x). Determine o domínio de f^{-1}, incluindo todas as restrições herdadas de f.
f(x)=\frac{2 x-3}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x-3}{x+1}
e pede sua inversa f^{-1}(x) junto com o domínio de f^{-1}. O conteúdo é “função inversa de função racional” e vamos precisar (1) trocar x e y e isolar y e (2) determinar quais valores de x tornam o denominador zero.

Passo 2

Para achar a inversa, seja
y=\frac{2x-3}{x+1}.
Trocando x e y obtemos
x=\frac{2y-3}{y+1}.
Agora isolamos y:
x(y+1)=2y-3 \qquad\Longrightarrow\qquad xy + x = 2y - 3 \qquad\Longrightarrow\qquad y(x-2) = -(x+3).
Portanto,
y = -\frac{x+3}{x-2} = \frac{x+3}{2-x}.
Logo
f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2-x}.

Passo 3

O domínio de f^{-1} é o conjunto de x que não anulam o denominador de \frac{x+3}{2-x}. Como 2-x\neq0, temos x\neq2. Não há outras restrições herdadas.

Resposta

f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x+3}{2-x}
Domínio de f^{-1}: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq2\}.

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