Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O(x).
f(x)=x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x)=x^{2}+x+1
é da ordem de g(x)=x, ou seja, se existe constante C>0 e k tais que
|f(x)|\le C\,|g(x)|\quad\text{para todo }x>k.
O conteúdo usado é a definição de notação “ O” (big-O).

Passo 2

Pela definição, dizer que f(x)=O(x) significa encontrar C>0 e k tais que, para todo x>k,
|x^{2}+x+1|\le C\,|x|.

Passo 3

Para x>1 temos
|x^{2}+x+1|\;=\;x^{2}+x+1\;\ge\;x^{2}.
Logo, a condição x^{2}\le C\,x para todo x>k implica
x\le C \quad\text{para todo }x>k.
Mas x cresce sem limite quando x\to\infty, então não há como escolher um C finito que satisfaça x\le C para todo x>k.

Resposta

f(x)=x^{2}+x+1 não é O(x).

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