Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação
grande, encontre os parâmetros
e
, tal que
sempre que
.
Determine se cada uma destas funções é
.
Determine se cada uma destas funções é
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é . Isto significa que devemos ver se existem constantes positivas
e
tais que
é
sempre que
. O conteúdo aqui é análise de comparações de crescimento: exponencial versus polinomial.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que
se e somente se existem constantes
e
tais que para todo
vale
Aqui
e
.
Passo 3
Para ver se isso é possível, consideramos a razão
Usando o fato de que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, temos
Uma forma de justificar rigorosamente é aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes ou notar que para grandes
,
domina
.
Passo 4
Como
, isso significa que, para qualquer escolha de
, sempre existe
suficientemente grande tal que
Logo não há como encontrar um par
que satisfaça a desigualdade
para todo
.
Resposta
A função
não é
.