Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O\left(x^{2}\right).
f(x)=2^{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \displaystyle f(x)=2^x
é O(x^2). Isto significa que devemos ver se existem constantes positivas C e k tais que
|2^x|\le C\,|x^2|
sempre que x>k. O conteúdo aqui é análise de comparações de crescimento: exponencial versus polinomial.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que f(x)=O(g(x)) se e somente se existem constantes C>0 e k tais que para todo x>k vale
|f(x)| \le C\,|g(x)|.
Aqui f(x)=2^x e g(x)=x^2.

Passo 3

Para ver se isso é possível, consideramos a razão
\frac{2^x}{x^2}.
Usando o fato de que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{2^x}{x^2} = \infty.
Uma forma de justificar rigorosamente é aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes ou notar que para grandes x, 2^x domina x^2.

Passo 4

Como \displaystyle 2^x/x^2\to\infty, isso significa que, para qualquer escolha de C>0, sempre existe x suficientemente grande tal que
\frac{2^x}{x^2}>C \quad\Longrightarrow\quad 2^x > C\,x^2.
Logo não há como encontrar um par (C,k) que satisfaça a desigualdade |2^x|\le C|x^2| para todo x>k.

Resposta

A função 2^x não é O(x^2).

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