Nos exercícios 7-10, faça o gráfico da função. Determine seu domínio, sua imagem e as coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
y=3 \cdot e^{-x}-2

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função
y = 3\,e^{-x} - 2
e que determinemos seu domínio, sua imagem e as coordenadas das interseções com os eixos x e y. O conteúdo aqui é funções exponenciais, sabendo que e^{-x} é sempre definida e positiva.

Passo 2

Para o domínio, observamos que a expressão e^{-x} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo,
\text{Domínio} = (-\infty,\infty).í

Passo 3

Para a imagem, analisamos os limites:
quando x\to -\infty, e^{-x}\to +\infty e então y\to +\infty;
quando x\to +\infty, e^{-x}\to 0 e então y\to -2.
Como 3\,e^{-x} é sempre positivo, y fica sempre acima de -2. Portanto,
\text{Imagem} = (-2,\infty),
e há assimptota horizontal y=-2.

Passo 4

Interseção com o eixo y: basta tomar x=0.
y(0)=3\,e^{0}-2=3-2=1,
logo o ponto é
(0,1).

Passo 5

Interseção com o eixo x: impõe-se y=0.
0=3\,e^{-x}-2 \quad\Longrightarrow\quad 3\,e^{-x}=2 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}=\tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad -x=\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x=\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).
Portanto o ponto é
\bigl(\ln(\tfrac{3}{2}),\,0\bigr).

Passo 6

Para o gráfico, note que é uma curva decrescente: para x\to -\infty cresce muito, passa em (0,1) e aproxima-se de y=-2 quando x\to\infty, sem nunca alcançá-la.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (-2,\infty)
Interseção com o eixo y: (0,1)
Interseção com o eixo x: \bigl(\ln(\tfrac{3}{2}),0\bigr)
Assíntota horizontal: y=-2

Exercícios de Livros Relacionados