Nos exercícios 1 a 8, a região S é limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada caso desenhar a região S e determinar as coordenadas
barx e bary do centroide.
raizx+raizy=1, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado pede o centroide (barx,bary) da região S no primeiro quadrante limitada pelas curvas
raizx+raizy=1, x=0, y=0
O conteúdo usado será mudança de variáveis para simplificar a região e cálculo de área e momentos de primeira ordem para encontrar barx e bary.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u=raizx, v=raizy,
de modo que x=u^2, y=v^2. A condição raizx+raizy<=1 vira
u+v<=1, u>=0,;v>=0,
ou seja, um triângulo T no plano (u,v):
T = (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y). Como
xu=2u,;xv=0, yu=0,;yv=2v,
temos
J = l|det2u & 00 & 2vr| =4,u,v
A área de S é
A=integral duplaS dA =integral duplaT 4,u,v;dv,du
Calculamos
A=4integralu=0^1integralv=0^1-uu,v,dv,du =4integral0^1 ul[tfrac(1-u)^22r]du =2integral0^1 u(1-u)^2du
Expandindo e integrando,
2integral0^1 (u-2u^2+u^3)du =2l[tfrac12-tfrac23+tfrac14r] =2cdottfrac112 =tfrac16

Passo 4

Para barx precisamos do momento em relação ao eixo y:
My=integral duplaS x,dA =integral duplaT u^2,(4u,v),dv,du =4integral0^1integral0^1-uu^3,v,dv,du
Isso dá
My =4integral0^1 u^3l[tfrac(1-u)^22r]du =2integral0^1 u^3(1-u)^2du =2l[tfrac14-tfrac25+tfrac16r] =2cdottfrac160 =tfrac130

Passo 5

Para bary precisamos do momento em relação ao eixo x:
Mx=integral duplaS y,dA =integral duplaT v^2,(4u,v),dv,du =4integral0^1integral0^1-uu,v^3,dv,du
Isso resulta em
Mx =4integral0^1 ul[tfrac(1-u)^44r]du =integral0^1 u(1-u)^4du =tfrac130

Passo 6

Finalmente,
barx=MyA =tfrac130tfrac16 =630 =15, bary=MxA =tfrac130tfrac16 =15

Resposta

barx=tfrac15, bary=tfrac15.

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