Nos Exercs. 13 a 18, reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1 / z2. Represente esses quatro números num gráfico.
z1=-1-i, z2=-1-i raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para transformar
z1=-1 - i e z2=-1 - iraiz3
na forma polar (módulo e argumento), e em seguida obter as formas polares de
;z1z2; e ;z1/z2;. Por fim, devemos representar os quatro números no plano de Argand. Para isso vamos usar:
  • módulo de z=x+iy: |z|=raizx^2+y^2
  • argumento de z: theta=arg(z)=arctan!l(y/xr); (ajustando o quadrante)
  • multiplicação em forma polar: r,e^itheta;times;R,e^iphi ;=;(rR),e^,i(theta+phi)
  • divisão em forma polar: r,e^ithetaR,e^iphi ;=;rR,e^,i(theta-phi)

Passo 2

Calcular a forma polar de z1=-1-i.
O módulo é
|z1|=raiz(-1)^2+(-1)^2=raiz2
O argumento principal theta1 satisfaz
arctan!l(-1-1r)=arctan(1)=pi4,
porém como x<0 e y<0 estamos no terceiro quadrante, escolhemos
theta1=-3pi4
Logo
z1=raiz2,e^-i3pi/4

Passo 3

Calcular a forma polar de z2=-1-iraiz3.
O módulo é
|z2|=raiz(-1)^2+(-raiz3)^2 =raiz1+3=2
O argumento principal theta2 satisfaz
arctan!l(-raiz3-1r) =arctan(raiz3)=pi3,
e de novo x<0,y<0 indica terceiro quadrante, portanto
theta2=-2pi3
Assim
z2=2,e^-i2pi/3

Passo 4

Determinar z1z2 em forma polar.
Pelo produto de módulos e soma de argumentos:
|z1z2|=|z1|;|z2|=raiz2times2=2raiz2,
arg(z1z2) =theta1+theta2 =-3pi4-2pi3 =-9pi+8pi12=-17pi12
Para colocar em (-pi,pi] somamos 2pi:
-17pi12+2pi =7pi12
Logo
z1z2 =2raiz2,e^,i7pi/12

Passo 5

Determinar z1z2 em forma polar.
Pela divisão de módulos e subtração de argumentos:
l|z1z2r| =|z1||z2| =raiz22,
arg!l(z1z2r) =theta1-theta2 =-3pi4-l(-2pi3r) =-9pi12+8pi12 =-pi12
Portanto
z1z2 =raiz22,e^-ipi/12

Passo 6

Representação gráfica no plano de Argand:
  • Trace o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical).
  • Marque z1 a distância raiz2 do origem, formando ângulo -3pi/4 (quadrante III).
  • Marque z2 a distância 2 e ângulo -2pi/3 (quadrante III).
  • Marque z1z2 a distância 2raiz2 e ângulo 7pi/12 (quadrante II).
  • Marque z1/z2 a distância raiz2/2 e ângulo -pi/12 (quadrante IV).

Resposta

z1=raiz2,e^-i3pi/4,
z2=2,e^-i2pi/3,
z1z2=2raiz2,e^,i7pi/12,
z1z2=raiz22,e^-ipi/12

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