Calcule o número complexo:
z=-2+2 i.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-2+2i e pede para “calcular” suas características principais. O conteúdo é números complexos: vamos encontrar o módulo lvert zrvert, o argumento arg(z) e, em seguida, escrever z em formas trigonométrica e exponencial.

Passo 2

Para o módulo usamos a definição
lvert zrvert = raiz(Re z)^2 + (Im z)^2
Aqui Re z=-2 e Im z=2, então
lvert zrvert = raiz(-2)^2 + (2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 3

Para o argumento theta=arg(z) usamos
theta = arctan!l(tfracIm zRe zr)
mas ajustamos o quadrante. Como Re z<0 e Im z>0, z está no segundo quadrante. O quociente tfrac2-2=-1 arctan(-1)=-tfracpi4, e no segundo quadrante o ângulo correspondente é
theta = pi - tfracpi4 = tfrac3pi4

Passo 4

Agora escrevemos z na forma trigonométrica
z = lvert zrvertl(costheta + isinthetar) = 2raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r)
e, usando a fórmula de Euler, na forma exponencial
z = 2raiz2,e^i,3pi/4

Resposta

O módulo é lvert zrvert = 2raiz2, o argumento é arg(z)=tfrac3pi4,
a forma trigonométrica é
z = 2raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r),
e a forma exponencial é
z = 2raiz2,e^i,3pi/4

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