Existe algum valor inteiro n tal que n^3-1n^2+11 n-12 seja inteiro?

Passo 1

O enunciado pede para achar os inteiros n tais que a expressão
n^3-1n^2+11n-12
seja inteira. Vamos usar fatoração de polinômios e divisibilidade para resolver.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
n^3-1 = (n-1),(n^2+n+1),
n^2+11n-12 = (n-1),(n+12)
Para nneq1, podemos simplificar o fator comum (n-1).

Passo 3

Depois da simplificação obtém-se
n^3-1n^2+11n-12 = (n-1)(n^2+n+1)(n-1)(n+12) = n^2+n+1n+12
Note que nneq1 e nneq -12 para que o denominador não seja zero.

Passo 4

Fazemos divisão polinomial de n^2+n+1 por n+12:
n^2+n+1n+12 = n-11 + 133n+12
Portanto a fração é inteira se, e somente se, 133n+12 for inteiro.

Passo 5

Como 133 = 7 times 19, os divisores de 133 são
pm1,pm7,pm19,pm133. Logo
n+12 in pm1,pm7,pm19,pm133
implica
n in -145,,-31,,-19,,-13,,-11,,-5,,7,,121
Nenhum desses é 1 ou -12, então todos são válidos.

Resposta

Os valores inteiros n que tornam
n^3-1n^2+11n-12
inteiro são
n in -145,,-31,,-19,,-13,,-11,,-5,,7,,121

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