O comandante de uma caravela promete, como recompensa a três dos seus mais valentes marujos, as moedas de ouro, entre 200 e 300, contidas numa arca. No dia seguinte, estas moedas seriam distribuídas em partes iguais. Durante a noite, um dos marujos resolveu retirar, em segredo, sua parte. Ao repartir em três as moedas, notou que sobrava uma. Temendo que esta moeda fosse causar uma contenda, jogou-a ao mar, tomando para si a sua parte. Pouco depois, o segundo marujo teve a mesma idéia. Ao dividir por três as moedas da arca, constata que sobrava uma. Joga esta moeda ao mar, crendo assim, evitar algum litígio, e toma o que julgava ser a sua
parte. Algum tempo depois, o terceiro marujo tem a mesma idéia, e, desconhecendo a antecipação de seus companheiros repete a divisão em três partes iguais das moedas restantes da arca, na qual sobrava uma moeda, que é atirada ao mar, e retém consigo a parte que, ao seu ver, lhe cabia. No dia seguinte, o comandante toma as moedas da arca, faz a partilha e percebe que sobra uma moeda. Para evitar problemas, fica com esta moeda e distribui o restante, igualmente, entre os três marujos. É claro que nenhum dos marujos reclamou da divisão, pois todos julgavam já ter retirado sua parte. Quantas eram as moedas, originalmente, na arca?

Passo 1

O enunciado descreve uma arca com N moedas, onde três marujos, em sequência, fazem a mesma operação: dividem as moedas em três partes, sobra uma, jogam essa moeda ao mar e cada um fica com um terço do restante. Ao final, de manhã, o comandante também divide o que sobrou por três, sobra uma, joga-a fora e distribui o restante igualmente. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e iteração de fórmulas de divisão.

Passo 2

Denotemos por S0 = N o número inicial de moedas.
Na primeira ação, como sobra uma ao dividir por três, temos
S0 equiv 1 pmod3,
logo podemos escrever S0 = 3a + 1 para algum inteiro a.
Depois de jogar 1 moeda fora, cada marujo fica com S0 - 13=a moedas, de onde restam
S1 = S0 - 1 - a = 2a

Passo 3

Na segunda ação, de novo sobra uma ao dividir S1 por três, ou seja,
S1 equiv 1 pmod3 Longrightarrow 2a equiv 1 pmod3 Longrightarrow a = 3b + 2
Assim
S0 = 3(3b+2)+1 = 9b + 7 e S1 = 2a = 2(3b+2) = 6b + 4
Depois de jogar 1 moeda nesta segunda vez, sobra
S2 = S1 - 1 - S1-13 = 2cdotS1 - 13 = 2cdot6b+33 =4b + 2

Passo 4

Na terceira ação temos novamente
S2 equiv 1 pmod3 Longrightarrow 4b + 2 equiv 1 pmod3 Longrightarrow b = 3c + 2
Então
S0 = 9(3c+2) + 7 = 27c + 25, S2 = 4b+2 = 4(3c+2)+2 = 12c+10,
e restam após a terceira retirada
S3 = 2cdotS2 - 13 = 2cdot12c+93 =8c + 6

Passo 5

De manhã, o comandante faz a mesma divisão e sobra uma moeda:
S3 equiv 1 pmod3 Longrightarrow 8c + 6 equiv 1 pmod3 Longrightarrow 2c equiv 1 pmod3 Longrightarrow c = 3d + 2
Logo
N = S0 = 27(3d+2) + 25 = 81d + 79
Queremos 200 <= N <= 300. Para d=0 vem N=79 (muito pequeno), para d=1 vem N=160 (ainda abaixo), e para d=2 vem
N = 81cdot2 + 79 = 162 + 79 = 241,
que está entre 200 e 300. Para d>=3 ultrapassa 300.

Resposta

241

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