O comandante de uma caravela promete, como recompensa a três dos seus mais valentes marujos, as moedas de ouro, entre 200 e 300, contidas numa arca. No dia seguinte, estas moedas seriam distribuídas em partes iguais. Durante a noite, um dos marujos resolveu retirar, em segredo, sua parte. Ao repartir em três as moedas, notou que sobrava uma. Temendo que esta moeda fosse causar uma contenda, jogou-a ao mar, tomando para si a sua parte. Pouco depois, o segundo marujo teve a mesma idéia. Ao dividir por três as moedas da arca, constata que sobrava uma. Joga esta moeda ao mar, crendo assim, evitar algum litígio, e toma o que julgava ser a sua
parte. Algum tempo depois, o terceiro marujo tem a mesma idéia, e, desconhecendo a antecipação de seus companheiros repete a divisão em três partes iguais das moedas restantes da arca, na qual sobrava uma moeda, que é atirada ao mar, e retém consigo a parte que, ao seu ver, lhe cabia. No dia seguinte, o comandante toma as moedas da arca, faz a partilha e percebe que sobra uma moeda. Para evitar problemas, fica com esta moeda e distribui o restante, igualmente, entre os três marujos. É claro que nenhum dos marujos reclamou da divisão, pois todos julgavam já ter retirado sua parte. Quantas eram as moedas, originalmente, na arca?
parte. Algum tempo depois, o terceiro marujo tem a mesma idéia, e, desconhecendo a antecipação de seus companheiros repete a divisão em três partes iguais das moedas restantes da arca, na qual sobrava uma moeda, que é atirada ao mar, e retém consigo a parte que, ao seu ver, lhe cabia. No dia seguinte, o comandante toma as moedas da arca, faz a partilha e percebe que sobra uma moeda. Para evitar problemas, fica com esta moeda e distribui o restante, igualmente, entre os três marujos. É claro que nenhum dos marujos reclamou da divisão, pois todos julgavam já ter retirado sua parte. Quantas eram as moedas, originalmente, na arca?
Passo 1
O enunciado descreve uma arca com
moedas, onde três marujos, em sequência, fazem a mesma operação: dividem as moedas em três partes, sobra uma, jogam essa moeda ao mar e cada um fica com um terço do restante. Ao final, de manhã, o comandante também divide o que sobrou por três, sobra uma, joga-a fora e distribui o restante igualmente. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e iteração de fórmulas de divisão.
Passo 2
Denotemos por
o número inicial de moedas.
Na primeira ação, como sobra uma ao dividir por três, temos
Na primeira ação, como sobra uma ao dividir por três, temos
logo podemos escrever
para algum inteiro
.
Depois de jogar 1 moeda fora, cada marujo fica com moedas, de onde restam
Depois de jogar 1 moeda fora, cada marujo fica com
Passo 3
Na segunda ação, de novo sobra uma ao dividir
por três, ou seja,
Assim
Depois de jogar 1 moeda nesta segunda vez, sobra
Passo 4
Na terceira ação temos novamente
Então
e restam após a terceira retirada
Passo 5
De manhã, o comandante faz a mesma divisão e sobra uma moeda:
Logo
Queremos
. Para
vem
(muito pequeno), para
vem
(ainda abaixo), e para
vem
que está entre 200 e 300. Para
ultrapassa 300.
Resposta
241