Quais inteiros possuem a seguinte propriedade: Se o dígito final é apagado, o inteiro é divisível pelo novo número.
Passo 1
O enunciado quer todos os inteiros positivos
tais que, ao apagar o dígito final, o número obtido divide exatamente
. O conteúdo é divisibilidade em base decimal. Sejam
o número que sobra ao tirar o último dígito de
e
esse dígito final. Então
e queremos que
Passo 2
Da condição
temos
Logo, o último dígito
precisa ser múltiplo de
.
Passo 3
Se
(ou seja,
tem pelo menos três dígitos), então
para qualquer
, de modo que a única forma de
é
. Concluímos que todos os inteiros com pelo menos dois dígitos que terminam em zero satisfazem a propriedade.
Passo 4
Se
(ou seja,
é um número de dois dígitos), então
e
. Para cada
de 1 a 9, só há possibilidades de
com
e
. Isso produz exatamente os números de dois dígitos cujos algarismos
e
satisfazem
.
Passo 5
Listando os casos de dois dígitos
com
, obtemos:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,
12, 24, 36, 48,
13, 26, 39,
14, 28,
15,
16,
17,
18,
19.
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,
12, 24, 36, 48,
13, 26, 39,
14, 28,
15,
16,
17,
18,
19.
Resposta
Todos os inteiros positivos que terminam em 0 (múltiplos de 10, com pelo menos dois dígitos), e ainda os números de dois dígitos
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99.