Quais inteiros possuem a seguinte propriedade: Se o dígito final é apagado, o inteiro é divisível pelo novo número.

Passo 1

O enunciado quer todos os inteiros positivos N tais que, ao apagar o dígito final, o número obtido divide exatamente N. O conteúdo é divisibilidade em base decimal. Sejam a o número que sobra ao tirar o último dígito de N e d esse dígito final. Então
N = 10a + d
e queremos que
a mid N

Passo 2

Da condição amid N temos
a mid (10a + d)Longrightarrow a mid d
Logo, o último dígito d precisa ser múltiplo de a.

Passo 3

Se a>=10 (ou seja, N tem pelo menos três dígitos), então a> d para qualquer din0,1,dots,9, de modo que a única forma de amid d é d=0. Concluímos que todos os inteiros com pelo menos dois dígitos que terminam em zero satisfazem a propriedade.

Passo 4

Se 1<= a<=9 (ou seja, N é um número de dois dígitos), então amid d e din1,2,dots,9. Para cada a de 1 a 9, só há possibilidades de d=k,a com kinN e k,a<=9. Isso produz exatamente os números de dois dígitos cujos algarismos a e d satisfazem amid d.

Passo 5

Listando os casos de dois dígitos N=10a+d com amid d, obtemos:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,
12, 24, 36, 48,
13, 26, 39,
14, 28,
15,
16,
17,
18,
19.

Resposta

Todos os inteiros positivos que terminam em 0 (múltiplos de 10, com pelo menos dois dígitos), e ainda os números de dois dígitos
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99.

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