Existem muitos modelos diferentes para geometrias nos quais os pontos são pares ordenados
de números reais; nós traçamos esses pontos do jeito usual no plano
. Nessa geometria, pode haver uma fórmula para a distância entre dois pontos
e
. Por exemplo, na geometria euclidiana, a distância é dada pela seguinte fórmula:
Em qualquer geometria com uma fórmula para distância, podemos definir um círculo como mostraremos a seguir.
Definição 1.9 Um círculo centrado em
com raio
é o conjunto de todos os pontos
cuja distância até
é
.
(a) Use a Definição 1.9 para dar uma equação para o círculo com raio 5 centrado em
no plano euclidiano.
(b) Trace o círculo da parte (a) no plano
.
(c) Na geometria do táxi, a distância entre dois pontos
e
é dada pela seguinte fórmula.
(Isso é chamado de distância “do táxi” porque modela a distância que você teria que percorrer dirigindo em uma cidade cujas ruas formam uma grade retangular.) Nesse modelo, use a Definição 1.9 para traçar o “círculo” com raio 5 centrado em
.
(d) Que tipo de círculo (euclidiano ou táxi) concorda com a sua imagem-conceito de círculo?
Definição 1.9 Um círculo centrado em
(a) Use a Definição 1.9 para dar uma equação para o círculo com raio 5 centrado em
(b) Trace o círculo da parte (a) no plano
(c) Na geometria do táxi, a distância entre dois pontos
(d) Que tipo de círculo (euclidiano ou táxi) concorda com a sua imagem-conceito de círculo?
Passo 1
O enunciado define círculo como o conjunto dos pontos cuja distância até o centro é igual ao raio, usando fórmulas de distância que variam conforme a geometria (euclidiana ou táxi). Vamos aplicar essa definição para o raio
e centro
em ambas as geometrias.
Passo 2
Na geometria euclidiana a distância entre
e
é
. A condição para estar a distância
do centro é
Elevando ao quadrado, obtemos
O gráfico dessa equação é o círculo usual de raio
centrado em
, que pode ser traçado variando-se um ângulo
e usando
Passo 3
Na geometria do táxi usamos
como distância até
. A condição de raio
leva a
cujo gráfico é um quadrado “rotacionado” (um losango) com vértices em
,
,
e
.
Passo 4
Nossa imagem-conceito de círculo (aquela curva suave e redonda) coincide com o círculo euclidiano, não com o losango da distância táxi.
Resposta
(a)
(b) Círculo padrão de raio centrado em
, descrito por
,
.
(c) Losango (diamante) dado por .
(d) O círculo euclidiano concorda com minha imagem-conceito.
(b) Círculo padrão de raio
(c) Losango (diamante) dado por
(d) O círculo euclidiano concorda com minha imagem-conceito.