Existem muitos modelos diferentes para geometrias nos quais os pontos são pares ordenados (x, y) de números reais; nós traçamos esses pontos do jeito usual no plano x y. Nessa geometria, pode haver uma fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2). Por exemplo, na geometria euclidiana, a distância é dada pela seguinte fórmula:
Distância =raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 â
Em qualquer geometria com uma fórmula para distância, podemos definir um círculo como mostraremos a seguir.
Definição 1.9 Um círculo centrado em (a, b) com raio r é o conjunto de todos os pontos (x, y) cuja distância até (a, b) é r.
(a) Use a Definição 1.9 para dar uma equação para o círculo com raio 5 centrado em (0,0) no plano euclidiano.
(b) Trace o círculo da parte (a) no plano x y.
(c) Na geometria do táxi, a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela seguinte fórmula.
Distância =|x2-x1|+|y2-y1| â
(Isso é chamado de distância “do táxi” porque modela a distância que você teria que percorrer dirigindo em uma cidade cujas ruas formam uma grade retangular.) Nesse modelo, use a Definição 1.9 para traçar o “círculo” com raio 5 centrado em (0,0).
(d) Que tipo de círculo (euclidiano ou táxi) concorda com a sua imagem-conceito de círculo?

Passo 1

O enunciado define círculo como o conjunto dos pontos cuja distância até o centro é igual ao raio, usando fórmulas de distância que variam conforme a geometria (euclidiana ou táxi). Vamos aplicar essa definição para o raio 5 e centro (0,0) em ambas as geometrias.

Passo 2

Na geometria euclidiana a distância entre (x,y) e (0,0) é raizx^2+y^2. A condição para estar a distância 5 do centro é
raizx^2+y^2=5
Elevando ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = 25
O gráfico dessa equação é o círculo usual de raio 5 centrado em (0,0), que pode ser traçado variando-se um ângulo t e usando
x=5cos t, y=5sin t, 0<= t<2pi

Passo 3

Na geometria do táxi usamos lvert xrvert + lvert yrvert como distância até (0,0). A condição de raio 5 leva a
|x|+|y|=5,
cujo gráfico é um quadrado “rotacionado” (um losango) com vértices em (5,0), (0,5), (-5,0) e (0,-5).

Passo 4

Nossa imagem-conceito de círculo (aquela curva suave e redonda) coincide com o círculo euclidiano, não com o losango da distância táxi.

Resposta

(a) x^2 + y^2 = 25
(b) Círculo padrão de raio 5 centrado em (0,0), descrito por x=5cos t,;y=5sin t, 0<= t<2pi.
(c) Losango (diamante) dado por lvert xrvert + lvert yrvert = 5.
(d) O círculo euclidiano concorda com minha imagem-conceito.

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