Existem senos na série de Fourier da função f(x)=x^{4} \sqrt{1+x^{2}}+x^{2} \cos (3 x),-\pi \leq x \leq \pi ?

Passo 1

O enunciado pede para saber se há termos de senos na série de Fourier de
f(x)=x^{4}\sqrt{1+x^{2}} \;+\; x^{2}\cos(3x), \quad -\pi\le x\le\pi.
O conteúdo principal aqui é série de Fourier e, em especial, a maneira como a paridade de uma função influencia os coeficientes de senos b_n.

Passo 2

Analisemos a paridade do primeiro termo
\;g(x)=x^{4}\sqrt{1+x^{2}}.
Para x\mapsto -x temos
g(-x)=(-x)^{4}\sqrt{1+(-x)^{2}} =x^{4}\sqrt{1+x^{2}} =g(x),
logo g é uma função par.

Passo 3

Analisemos a paridade do segundo termo
\;h(x)=x^{2}\cos(3x).
Para x\mapsto -x vem
h(-x)=(-x)^{2}\cos\bigl(3(-x)\bigr) =x^{2}\cos(-3x) =x^{2}\cos(3x) =h(x),
pois \cos é par. Logo h também é par.

Passo 4

A soma de duas funções pares é par, então f(x) é par. Nos termos da série de Fourier, os coeficientes de senos são dados por
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,\mathrm{d}x.
Como f é par e \sin(nx) é ímpar, o integrando é ímpar, e portanto
b_{n}=0 \quad\text{para todo }n.

Resposta

Não existem termos de senos na série de Fourier de f.

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