expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
J_{0}(2 \alpha)=0

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(x)=1 no intervalo 0<x<2 em uma série de Fourier–Bessel de ordem zero, sujeita à condição de contorno
J_{0}(2\alpha)=0.
Isso significa que as funções próprias são
J_{0}(k_{n}x),
com
k_{n}=\frac{j_{0,n}}{2},
onde j_{0,n} é o n-ésimo zero de J_{0}(z). Vamos usar a ortogonalidade dessas funções e calcular os coeficientes da expansão.

Passo 2

A ortogonalidade das funções de Bessel implica que, para m\neq n,
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(k_{m}x)\,J_{0}(k_{n}x)\,dx=0,
e para m=n,
\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(k_{n}x)]^{2}dx =\frac{2^{2}}{2}\,J_{1}\bigl(k_{n}2\bigr)^{2} =2\,J_{1}(j_{0,n})^{2}.

Passo 3

O coeficiente geral A_{n} na expansão
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{0}(k_{n}x)
é dado por
A_{n} =\frac{\displaystyle \int_{0}^{2}x\,f(x)\,J_{0}(k_{n}x)\,dx} {\displaystyle \int_{0}^{2}x\,[J_{0}(k_{n}x)]^{2}dx}.
Como f(x)=1, o numerador é
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(k_{n}x)\,dx =\left[\frac{x\,J_{1}(k_{n}x)}{k_{n}}\right]_{0}^{2} =\frac{2\,J_{1}(k_{n}2)}{k_{n}} =\frac{2\,J_{1}(j_{0,n})}{k_{n}}.
Logo,
A_{n} =\frac{\dfrac{2\,J_{1}(j_{0,n})}{k_{n}}} {2\,J_{1}(j_{0,n})^{2}} =\frac{1}{k_{n}\,J_{1}(j_{0,n})}.
Como k_{n}=j_{0,n}/2, segue
A_{n} =\frac{2}{j_{0,n}\,J_{1}(j_{0,n})}.

Passo 4

Substituindo A_{n} e k_{n} na série, obtemos
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{j_{0,n}\,J_{1}(j_{0,n})} \,J_{0}\!\Bigl(\frac{j_{0,n}}{2}\,x\Bigr).

Resposta

1 =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{j_{0,n}\,J_{1}(j_{0,n})} \,J_{0}\!\Bigl(\frac{j_{0,n}}{2}\,x\Bigr), \quad 0<x<2,
onde j_{0,n} é o n-ésimo zero de J_{0}(z).

Exercícios de Livros Relacionados