expanda
, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
no intervalo
em uma série de Fourier–Bessel de ordem zero, sujeita à condição de contorno
Isso significa que as funções próprias são
com
onde
é o
-ésimo zero de
. Vamos usar a ortogonalidade dessas funções e calcular os coeficientes da expansão.
Passo 2
A ortogonalidade das funções de Bessel implica que, para
,
e para
,
Passo 3
O coeficiente geral
na expansão
é dado por
Como
, o numerador é
Logo,
Como
, segue
Passo 4
Substituindo
e
na série, obtemos
Resposta
onde
é o
-ésimo zero de
.