39 Explique por que a curva paramétrica descrita por
sendo um número real, é um raio.)
sendo um número real, é um raio.)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede para mostrar que essa curva é um raio (isto é, uma semirreta) que sai da origem numa direção fixa. Para isso vamos usar:
- a definição de semirreta a partir da origem,
- a relação entre
e ao longo da curva, - a interpretação em coordenadas polares (ângulo constante).
Passo 2
Primeiro notamos que, sempre que
varia,
e em
temos
. Logo todos os pontos da curva satisfazem
e a curva passa pela origem
.
Passo 3
Em forma vetorial fica evidente a direção fixa:
Se considerarmos apenas
, então
e o ponto
percorre exatamente
que é a semirreta de origem
na direção do vetor
. Em coordenadas polares, tem-se
e o raio
varia com
, reforçando que é um raio fixo em ângulo
.
Resposta
A curva é a semirreta
isto é, o raio que parte da origem na direção
.