39 Explique por que a curva paramétrica descrita por
\\left(t^{3}, 3 t^{3}\\\right)\\, com \(t sendo um número real, é um raio.)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
(x(t),y(t)) = (\,t^{3},\,3t^{3}\!),\quad t\in\mathbb{R},
e pede para mostrar que essa curva é um raio (isto é, uma semirreta) que sai da origem numa direção fixa. Para isso vamos usar:
  1. a definição de semirreta a partir da origem,
  2. a relação entre x e y ao longo da curva,
  3. a interpretação em coordenadas polares (ângulo constante).

Passo 2

Primeiro notamos que, sempre que t varia,
y(t)=3\,t^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y(t)}{x(t)}=\frac{3\,t^{3}}{t^{3}}=3 \quad\text{(desde que \(t\neq0\)),}
e em t=0 temos (x,y)=(0,0). Logo todos os pontos da curva satisfazem
y=3x
e a curva passa pela origem (0,0).

Passo 3

Em forma vetorial fica evidente a direção fixa:
(x(t),y(t)) = (\,t^{3},\,3t^{3}) = t^{3}\,(1,3).
Se considerarmos apenas t\ge0, então t^{3}\ge0 e o ponto (x,y) percorre exatamente
\{\,\lambda\,(1,3)\mid \lambda\ge0\},
que é a semirreta de origem (0,0) na direção do vetor (1,3). Em coordenadas polares, tem-se
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\arctan(3)\quad\text{constante},
e o raio r varia com t, reforçando que é um raio fixo em ângulo \arctan(3).

Resposta

A curva é a semirreta
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=3x,\;x\ge0\},
isto é, o raio que parte da origem na direção (1,3).

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