3 Explique por que não são definidos logaritmos com base 0 .
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que não se define o logaritmo de base zero. O conteúdo envolvido é: definição de logaritmo como função inversa da exponenciação e as condições que a base
deve satisfazer para que essa inversa exista e seja bem definida.
Passo 2
Por definição,
quando e somente quando
e para que isso faça sentido precisamos que a aplicação
seja uma bijeção (contínua e estritamente monotônica). Esse fato exige que
-
, -
.
Passo 3
Agora considere a função
- Se
, então . - Se
, o valor é indefinido. - Se
, aparece , que é divisão por zero e, portanto, indefinido.
Logo o domíniode não é todo , e a imagem de fica restrita ao conjunto . Em particular, não é injetiva nem sobrejetiva de em .
Passo 4
Como a exponenciação de base zero não define uma bijeção de
em
, não existe função inversa
. Em outras palavras, a condição básica
falha para
, impedindo a existência do logaritmo.
Resposta
Não se define
porque a função
não é bem definida nem bijetiva de
em
, o que torna impossível obter uma inversa.