3 Explique por que não são definidos logaritmos com base 0 .

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que não se define o logaritmo de base zero. O conteúdo envolvido é: definição de logaritmo como função inversa da exponenciação e as condições que a base a deve satisfazer para que essa inversa exista e seja bem definida.

Passo 2

Por definição,
\log_{a}(x)=y
quando e somente quando
a^{y}=x,
e para que isso faça sentido precisamos que a aplicação
f\colon \mathbb{R}\to (0,\infty),\quad f(y)=a^{y}
seja uma bijeção (contínua e estritamente monotônica). Esse fato exige que
  1. a>0,
  2. a\neq 1.

Passo 3

Agora considere a função
g\colon D\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad g(y)=0^{y}.
  • Se y>0, então 0^{y}=0.
  • Se y=0, o valor 0^{0} é indefinido.
  • Se y<0, aparece 0^{y}=1/0^{-y}, que é divisão por zero e, portanto, indefinido.
    Logo o domínio D de g não é todo \mathbb{R}, e a imagem de g fica restrita ao conjunto \{0\}. Em particular, g não é injetiva nem sobrejetiva de \mathbb{R} em (0,\infty).

Passo 4

Como a exponenciação de base zero não define uma bijeção de \mathbb{R} em (0,\infty), não existe função inversa \log_{0}(x). Em outras palavras, a condição básica a>0 falha para a=0, impedindo a existência do logaritmo.

Resposta

Não se define \log_{0}(x) porque a função y\mapsto 0^{y} não é bem definida nem bijetiva de \mathbb{R} em (0,\infty), o que torna impossível obter uma inversa.

Exercícios de Livros Relacionados