Explique por que a relação
em
dada por
não é uma relação de equivalência. Seja específico.
Passo 1
O enunciado define uma relação
no conjunto
e pede para mostrar que ela não é uma relação de equivalência. Para isso, vamos lembrar a definição: uma relação em
é de equivalência se, e somente se, ela for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva. Nosso plano será verificar cada uma dessas propriedades em
.
Passo 2
Verificamos a reflexividade, que exige que todo elemento de
esteja relacionado consigo mesmo, isto é,
para todo
.
Observamos que
Observamos que
e esses são exatamente os três elementos de
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria, que exige que sempre que
então
.
Em temos os pares extras
Em
Cada um aparece junto com seu “espelho”. Não há nenhum outro par misto em
. Portanto,
é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade, que exige que sempre que
e
, então também
.
Note que em temos
e
. Se fosse transitiva, precisaríamos ter
. Mas não há
em
. Logo, a condição de transitividade falha.
Note que em
Resposta
A relação
não é de equivalência porque não satisfaz a transitividade: embora
e
, não temos
.