Explique por que a relação R em 0,1,2 dada por
R=(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)
não é uma relação de equivalência. Seja específico.

Passo 1

O enunciado define uma relação R no conjunto A = 0,1,2 e pede para mostrar que ela não é uma relação de equivalência. Para isso, vamos lembrar a definição: uma relação em A é de equivalência se, e somente se, ela for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva. Nosso plano será verificar cada uma dessas propriedades em R.

Passo 2

Verificamos a reflexividade, que exige que todo elemento de A esteja relacionado consigo mesmo, isto é, (x,x)in R para todo xin A.
Observamos que
(0,0),;(1,1),;(2,2);in R,
e esses são exatamente os três elementos de A. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria, que exige que sempre que (x,y)in R então (y,x)in R.
Em R temos os pares extras
(0,1) e (1,0), (1,2) e (2,1)
Cada um aparece junto com seu “espelho”. Não há nenhum outro par misto em R. Portanto, R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade, que exige que sempre que (x,y)in R e (y,z)in R, então também (x,z)in R.
Note que em R temos (0,1)in R e (1,2)in R. Se fosse transitiva, precisaríamos ter (0,2)in R. Mas não há (0,2) em R. Logo, a condição de transitividade falha.

Resposta

A relação R não é de equivalência porque não satisfaz a transitividade: embora (0,1)in R e (1,2)in R, não temos (0,2)in R.

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