Ao extrair a raiz cúbica de um número natural N , verificou-se que o resto era o maior possível e igual a 126. Qual é a soma dos algarismos de N ?

Passo 1

O enunciado diz que, ao extrair a raiz cúbica de um número natural N, obtemos um quociente inteiro q e um resto r, ou seja
N = q^3 + r
com
0 <= r < (q+1)^3 - q^3
Foi informado que esse resto é o maior possível e vale 126. Vamos usar a teoria de divisões envolvendo potências para encontrar q e, depois, N.

Passo 2

O maior resto permitido no processo de extração da raiz cúbica é
rmax = (q+1)^3 - q^3 - 1 = 3q^2 + 3q
Como r = 126 é esse valor máximo, temos
3q^2 + 3q = 126
Dividindo por 3 e rearranjando, fica
q^2 + q - 42 = 0
Resolvendo a equação quadrática, obtemos q = 6 (a outra raiz é negativa e não vale aqui).

Passo 3

Agora que sabemos q = 6, calculamos N por
N = q^3 + r = 6^3 + 126 = 216 + 126 = 342
Logo, a soma dos algarismos de N é
3 + 4 + 2 = 9

Resposta

9

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