Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo. f(x)=\ln x^{2}
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva da função logarítmica f(x)=\ln x^{2} sem usar derivadas nem outros métodos de cálculo. O conteúdo envolve domínio, assimptotas, transformações do gráfico de \ln x, interceptos e simetria.
Passo 2
Determinar o domínio e as assimptotas verticais. Como o argumento de \ln deve ser positivo, temos
x^{2}>0
para todo x\neq0. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}
e existe uma assimptota vertical em x=0. Ao aproximar x de zero, x^{2}\to0^{+} e portanto
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\ln(x^{2})=-\infty.
Passo 3
Reescrever f em termos de \ln|x|. Usando propriedades de logaritmo,
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln\bigl|x\bigr|.
Isso mostra que o gráfico de f é uma “esticada” vertical (fator 2) do gráfico de \ln|x|.
Passo 4
Calcular interceptos e alguns pontos-chave.
Para x=\pm1,
f(\pm1)=2\ln\bigl|1\bigr|=2\cdot0=0,
logo a curva cruza o eixo x em (-1,0) e (1,0).
Para x=\pm e,
f(\pm e)=2\ln\bigl|e\bigr]=2\cdot1=2,
então passa por (-e,2) e (e,2).
Passo 5
Observar a simetria. Como f(x) depende apenas de \bigl|x\bigr|, a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 6
Descrever o comportamento para grandes \lvert x\rvert. Quando \lvert x\rvert\to\infty, \ln\lvert x\rvert\to+\infty e, multiplicado por 2,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
O crescimento é lento, típico de logaritmo, mas não há assimptota horizontal.
Passo 7
Esboçar combinando tudo:
a) Marcar a assimptota vertical em x=0.
b) Desenhar duas ramos simétricos à direita e à esquerda do eixo y.
c) Cada ramo sobe de -\infty em x=0, cruza em \pm1 no nível y=0, atinge \pm e em y=2 e segue crescendo lentamente para +\infty conforme \lvert x\rvert aumenta.
Resposta
O esboço apresenta dois ramos simétricos em relação ao eixo y, com assimptota vertical em x=0, cruzando o eixo x em (-1,0) e (1,0), passando por (-e,2) e (e,2), e subindo lentamente para +\infty à medida que \lvert x\rvert\to\infty.
Cálculo - Laurence Hoffmann e Gerald Bradley - Um Curso Moderno e Suas Aplicações - 11ª Edição - Capítulo 4.Problemas de Revisão - Ex. 3