(FGV-17)
Considere a sequência (1,10,11, \ldots, 19, 100, 101, … 199, …) formada por lodos os números naturais que têm 1 como primciro algarismo no sistema decimal de numeração, tomados em ordem crescente. Se a soma dos seus n primeiros termos é 347, qual é o valor de neovalor numérico de a_{n} ?

Passo 1

Neste exercício temos a sequência de todos os números naturais cujo primeiro algarismo na base decimal é 1, em ordem crescente. Os termos agrupam‐se por quantidade de dígitos: a_1=1, depois vêm os dez números de dois dígitos de 10 a 19, em seguida os cem de três dígitos de 100 a 199, e assim por diante. Queremos encontrar a_n sabendo que
\sum_{k=1}^{n}a_k=347.
Usaremos a fórmula da soma de progressão aritmética para cada bloco.

Passo 2

Calculamos a soma do bloco de um dígito e do bloco de dois dígitos. O bloco de um dígito é apenas \{1\}. O bloco de dois dígitos é a progressão de 10 até 19, com 10 termos e soma
\frac{(10+19)\cdot10}{2}=145.
Portanto
\sum_{k=1}^{11}a_k = 1 + 145 = 146.

Passo 3

Faltam 347 - 146 = 201 para atingir a soma desejada. Agora consideramos os termos de três dígitos, que formam a progressão de 100 até 199. Supondo que precisamos de m desses termos, sua soma é
\sum_{i=0}^{m-1}(100+i) = m \cdot \frac{100 + (100 + m - 1)}{2} = \frac{m(m + 199)}{2}.
Impondo
146 + \frac{m(m + 199)}{2} = 347
obtém-se
\frac{m(m + 199)}{2} = 201 \quad\Longrightarrow\quad m^2 + 199m - 402 = 0.

Passo 4

Resolvendo m^2 + 199m - 402 = 0, o discriminante é
\Delta = 199^2 + 4\cdot402 = 41209 = 203^2,
logo
m = \frac{-199 \pm 203}{2}.
A única solução positiva é
m = \frac{4}{2} = 2.
Assim usamos 2 termos do bloco de três dígitos, alcançando n = 11 + 2 = 13 termos no total, e o último termo adicionado é
a_n = 100 + (2 - 1) = 101.

Resposta

101

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