(FGV-17)
Considere a sequência
, 19, 100, 101, … 199, …) formada por lodos os números naturais que têm 1 como primciro algarismo no sistema decimal de numeração, tomados em ordem crescente. Se a soma dos seus n primeiros termos é 347, qual é o valor de neovalor numérico de
?
Considere a sequência
Passo 1
Neste exercício temos a sequência de todos os números naturais cujo primeiro algarismo na base decimal é
, em ordem crescente. Os termos agrupam‐se por quantidade de dígitos:
, depois vêm os dez números de dois dígitos de
a
, em seguida os cem de três dígitos de
a
, e assim por diante. Queremos encontrar
sabendo que
.
Usaremos a fórmula da soma de progressão aritmética para cada bloco.
Usaremos a fórmula da soma de progressão aritmética para cada bloco.
Passo 2
Calculamos a soma do bloco de um dígito e do bloco de dois dígitos. O bloco de um dígito é apenas
. O bloco de dois dígitos é a progressão de
até
, com
termos e soma
Portanto
Passo 3
Faltam
para atingir a soma desejada. Agora consideramos os termos de três dígitos, que formam a progressão de
até
. Supondo que precisamos de
desses termos, sua soma é
Impondo
obtém-se
Passo 4
Resolvendo
, o discriminante é
logo
A única solução positiva é
Assim usamos
termos do bloco de três dígitos, alcançando
termos no total, e o último termo adicionado é