(FGV-17) Dadas as matrizes: \mathrm{A}= \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 5 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right], a
matriz X que satisfaz a equação matricial A.X.B =C tem como soma de seus elementos o valor:
a) 16
b) 14
c) 18
d) 12

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 5 & 3\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{pmatrix}
e pede a matriz X tal que
A\,X\,B = C,
além da soma de todos os elementos de X.
Conteúdo: equação matricial e inversão de matrizes 2\times2.

Passo 2

Para resolver A\,X\,B = C, isolamos X multiplicando à esquerda por A^{-1} e à direita por B^{-1}:
X = A^{-1}\,C\,B^{-1}.
Logo precisamos das inversas de A e B.

Passo 3

Calculemos \det(A) e A^{-1}.
\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1.
Para matriz 2 \times 2,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora \det(B) e B^{-1}.
\det(B) = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1,
B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Multipliquemos em duas etapas:
1. M = A^{-1} \cdot C:
M = \begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ -5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\\\ -10 & 8 \end{pmatrix}.
2. X = M \cdot B^{-1}:
X = \begin{pmatrix}6 & -4 \\\\ -10 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -5 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & -42 \\\\ -28 & 74 \end{pmatrix}.

Passo 6

Somando todos os elementos de X:
16 + (-42) + (-28) + 74 = 20.

Resposta

A soma dos elementos de X é 20.

Exercícios de Livros Relacionados